Sifat Operasi Himpunan

Di artikel sebelumnya tentang Operasi pada Himpunan, kamu sudah pelajari tentang operasi dua himpunan yang menghasilkan himpunan baru. Nah sekarang, mari kita lanjutkan dengan sifat-sifat pada operasi dua himpunan tersebut. 

Untuk sebarang himpunan A, B, dan C berlaku sifat-sifat berikut : 

1. Sifat Komplemen

(A∪B)^c = A^c ∩ B^c
(A∩B)^c = A^c ∪ B^c
(A^c)^c = A

 

2. Sifat Identitas

A ∪ ∅ = A
A ∩ ∅ = ∅

 

3. Sifat Idempoten

A ∪ A=A
A ∩ A=A

 

4. Sifat Komutatif

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

 

5. Sifat Asosiatif

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 

6. Sifat Distributif

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

7. Sifat-Sifat Lain

• Jika A⊂B maka A∩B=A
• Jika A∩B=∅ maka A-B=A dan B-A=B
• Jika A⊂B maka A-B=∅
• Jika A⊂B maka A∪B=B

 

8. Rumus-rumus Operasi Himpunan

• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
• n(A∩B) = n(A) +n(B) – n(A ∪ B)
• n(A ∪ B ∪ C) = n(A) +n(B)+n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) -n(B ∩ C) + n(A∩B∩C)
• n(A – B) =n(A ∪ B) – n(B)
• n(A – B) =n(A) – n(A ∩ B)

Yuk latihan dengan contoh soal berikut supaya kamu lebih mahir dalam materi ini.

Contoh Soal 1

Diketahui himpunan A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, dan C = {3,4,5}. Buktikan sifat distributive irisan berlaku pada operasi 3 himpunan ini!

Jawab :

Akan dibuktikan : A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A ∩ (B ∪ C) ={1,2,3} ∩ ({2,3,4} ∪ {3,4,5})
A ∩ (B ∪ C) = {1,2,3} ∩ {2,3,4,5}
A ∩ (B ∪ C) ={2,3}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ({1,2,3} ∩ {2,3,4}) ∪ ({1,2,3} ∩ {3,4,5})
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2,3} ∪ {3}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2,3}

Dari sini terlihat bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

 

Contoh Soal 2

Dalam sebuah kelas terdapat 45 orang anak. Dari jumlah tersebut, 19 orang anak gemar berenang, 23 anak gemar bernyanyi, 23 orang anak gemar sepak takraw, 7 orang anak gemar berenang dan bernyanyi, 10 orang anak gemar bernyanyi dan sepak takraw, 9 orang anak gemar berenang dan sepak takraw, dan 4 orang anak gemar ketiganya. 

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas
2. Berapa orang anak yang tidak gemar satupun dari ketiga ketiga kegiatan tersebut?

Jawab : 

Pertama mari kita misalkan terlebih dahulu 

A = Himpunan anak yang gemar berenang
B = Himpunan anak yang gemar bernyanyi
C = Himpunan anak yang gemar sepak takraw
S = Himpunan semua anak di kelas

Sehingga dari soal dapat dituliskan persamaan

n(S) = 45 
n(A) = 19
n(B) = 23
n(C) = 23
n(A ∩ B) =7
n(B ∩ C) =10
n(A ∩ C)=9
n(A ∩ B ∩ C)=4

1. Dari soal kita dapat gambarkan diagram venn sebagai berikut

2. Banyak anak yang tidak gemar ketiganya = n(A ∪ B ∪ C)^c

n(A ∪ B ∪ C) =n(A) +n(B)+n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) -n(B ∩ C) + n(A∩B∩C)
n(A ∪ B ∪ C) =19+23+23-7-9-10+4
n(A ∪ B ∪ C) = 43

n(A ∪ B ∪ C)^c =n(S) -n(A ∪ B ∪ C)
n(A ∪ B ∪ C)^c =45-43
n(A ∪ B ∪ C)^c =2 

Semoga materi tentang Himpunan ini dari awal sampai akhir dapat kamu pahami ya dari artikel ini..Terus belajar ya! ~Suci Utari